Podemos, de forma resumida, definir que o Tratamento da Informação lida com um conjunto de saberes e competências de natureza estatística, combinatória e de análise de códigos existentes em nosso cotidiano.
Estar alfabetizado nos dias de hoje, supõe saber ler e interpretar dados apresentados, de maneira organizada e construir representações, para formular e resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise dos diversos tipos de informações.
Essa característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma demanda em abordar elementos do tratamento da informação, desde os ciclos iniciais.
Dicionário do Aurélio: Código = Vocabulário ou sistema de sinais convencionais ou secretos utilizados em correspondências ou comunicações.
Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos números é a aritmética modular, que envolve o conceito de congruência. Uma congruência é a relação entre dois números que, divididos por um terceiro - chamado módulo de congruência - deixam o mesmo resto. Por exemplo, o número 9 é congruente ao número 16, módulo 7, pois ambos deixam resto 2, ao serem divididos por 7. Representamos essa congruência do exemplo por 9 º16, mod. 7.
Foi o brilhante Gauss que observou que usávamos com muita frequência frases do tipo “a dá o mesmo resto que b quando divididos por k” e que essa relação tinha um comportamento semelhante à igualdade. Foi Gauss então que introduziu uma notação específica para este fato e que denominou de “congruência”.
a º b, mod. k Þ a e b, divididos por k, dão o mesmo resto.
Tema da Teoria dos Números, relacionado à divisibilidade e restos de uma divisão de números naturais.
O que não tem sido muito explorado? As aplicações desse tema no cotidiano das pessoas.
É um tema bastante atual, gerador de excelentes oportunidades de contextualização no processo de ensino / aprendizagem de matemática, e que pode ser trabalhado já nas classes do Ensino Fundamental.
Exemplo 1:
Vamos apresentar uma questão retirada do banco de questões do site da OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas).
A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia, conforme mostra a figura a seguir. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118?
SOLUÇÃO: Vejamos o que está acontecendo?
• Os números de cada fio formam uma P.A de razão igual a 8.
• O fio A = (8. n, com n Î IN).
• O fio B = (8.n + 1, com n Î IN).
• O fio C = (8.n + 2, com n Î IN).
• ...
• O fio H = (8.n + 7, com n Î IN).
A qual fio pertence o número 118? Ou seja, qual o resto da divisão de 118 por 8?
Verificamos que o número 118 é igual a 8 . 14 + 6, ou seja, pertence à família dos números que estão no fio G.
Verifique que os números 14 e 22, por exemplo, também estariam sobre esse fio G pois ambos divididos por 8 deixam resto 6. Isso significa que tais números são congruentes no módulo 8.
Simbolicamente, poderemos escrever: 14 º 22, mod. 8
Exemplo 2: Aritmética do relógio
Trata-se de um caso de congruência, módulo 12 (nos relógios analógicos, é claro). Note que 13 horas é congruente a 1 hora, no módulo 12. Ambos divididos por 12, deixam resto 1. 17 horas é congruente a 5 horas, módulo 12. Tanto 17, como 5, divididos por 12, deixam resto 5... e assim, sucessivamente.
1 º 13 º 25 º ...., mod 12
5 º 17 º 29 º ...., mod 12
Assim as horas marcadas num relógio analógico constituem também um exemplo clássico de congruência, nesse caso com módulo 12, aplicado ao cotidiano das pessoas.
Exemplo 3: Calendários e congruência módulo 7.
Verificamos que o dia 1 de janeiro de 2007 caiu numa segunda-feira. Vejamos a primeira semana desse ano.
Segunda ® 1 Terça ® 2 Quarta ® 3 Quinta ® 4 Sexta ® 5 Sábado ® 6 Domingo ® 7
Qualquer data desse ano recairá nessa sequência, através da congruência, módulo 7.
5 de julho de 2007?
Primeiro vamos contar quantos dias existem de 1º de janeiro até 5 de julho.
Janeiro = 31 dias
Fevereiro = 28 dias (2007 não foi bissexto)
Março = 31 dias
Abril = 30 dias
Maio = 31 dias
Junho = 30 dias
Julho = 5 dias
Total = 186 dias.
Se dividirmos 186 por 7, teremos:
186 : 7 = 26
Logo, o 186 é congruente ao 4, módulo 7. Como o dia 4 foi uma quinta-feira, o dia 186 também o será.
Congruência, módulo k, oportunidade de Contextualização da Matemática da Educação Básica.
Conceitos Básicos da Congruência módulo k:
Se os inteiros a e b dão o mesmo resto quando divididos pelo inteiro k (k > 0) então podemos dizer que a e b são côngruos, módulo k e podemos representar:
a º b mod k
Uma maneira equivalente de dizer isso é afirmar que a diferença (a – b) ou (b – a) é divisível por k, ou que k é divisor dessa diferença. Veja um exemplo:
47 º 43 mod 4, logo (47 – 43) é divisível por 4.
A congruência define uma equivalência, pois atende às propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja:
a º a, mod k (reflexiva)
a º b, mod k, então b º a, mod k (simétrica)
a º b, mod k e b º c, mod k, então a º c, mod k (transitiva)
Aplicações da Congruência módulo k
Em qualquer texto, um erro de ortografia numa palavra pode ser facilmente percebido, pois ou a palavra não faz parte do idioma ou não faz sentido com o contexto. Por exemplo, se digitamos engenheior, logo percebemos que fizemos uma inversão das duas últimas letras. Mas, quando isso ocorre com os algarismos de um número, de um código de identificação qualquer, não teríamos como perceber a troca num simples olhar. Para isso e também para minimizar fraudes, foram criados os chamados dígitos de controle ou verificação. Tais dígitos são normalmente baseados na noção de congruência que mostramos anteriormente.
Mostraremos nesse capítulo alguns desses casos de dígitos de controle usados como identificadores.
No ISBN, as publicações eram identificadas através de 10 algarismos, sendo que o último (dígito de controle) era calculado através da aritmética modular envolvendo operações matemáticas com os outros nove dígitos.
Os nove primeiros dígitos - 3 partes, de tamanho variável, transmitem informações sobre o país, editora e sobre o livro em questão.
Cálculo do dígito final do ISBN (controle).
Representando por a sequência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} e somar os produtos obtidos. A soma obtida representamos por S.
Dígito de controle = a10
S + a10 deve ser múltiplo de 11, ou seja, S + a10 º 0 mod 11.
OBS: Em todos os casos de códigos de identificação ocorrerá uma soma S, obtida a partir de uma base de multiplicação. S + x ou S – x deverá ser côngruo a zero, módulo 10 ou módulo 11.
Vejamos um exemplo:
Temas e Problemas Elementares, da SBM, temos o seguinte código do ISBN: 85-85818-29-8. Vejamos o cálculo do dígito de controle que, como estamos observando, é igual a 8.
Cálculo da soma S:
8 . 10 + 5 . 9 + 8 . 8 + 5 . 7 + 8 . 6 + 1 . 5 + 8 . 4 + 2 . 3 + 9 . 2 =
80 + 45 + 64 + 35 + 48 + 5 + 32 + 6 + 18 = 333. Logo, S = 333.
333 : 11 = 30. S + a10 = múltiplo de 11, concluímos que tal número será igual a 8, pois 11 – 3 = 8.
Isso significa que 333 + 8 = 341.
341 º 0 mod 11.
Tente descobrir ...
O livro Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade, da Editora Thompson, tem o seguinte código ISBN 85-221-0399-? Qual o seu dígito de controle?
Solução:
Efetuando a soma dos produtos correspondentes, teremos:
80 + 45 + 16 + 14 + 6 + 0 + 12 + 27 + 18 = 218. Logo, S = 218.
218 : 8 = 19
Dessa forma, o dígito de controle será igual a 2 (11 – 9 = 2).
OBSERVAÇÕES:
Os dois livros que usamos como exemplo tem o prefixo 85, que identifica livros publicados no Brasil.
No ISBN, se o dígito for igual a 10 (no caso do resto da divisão por 11 ser igual a 1), como se pretende que sejam utilizados dez símbolos alfanuméricos, é usado o símbolo do 10 na numeração romana, o X.
A partir de 01 de Janeiro de 2007, o ISBN passou a contar com 13 dígitos.
O novo código fica precedido pelo número 978, porém os prefixos editoriais não terão mudança. Esta formatação deixou os códigos do ISBN semelhantes aos códigos de barras EAN-13, que já eram usados para a grande maioria das mercadorias que compramos no comércio em geral.
Dessa forma, os códigos do ISBN passaram também a obedecer a todos os critérios usados nas identificações por códigos de barras. A seguir veremos mais informações sobre os códigos de barras.
O código mais utilizado atualmente é o EAN/UCC-13, que usa um conjunto de 13 dígitos, sendo que o último (dígito verificador) é obtido mediante congruência, módulo k.
ATIVIDADE DE INVESTIGAÇÃO – INTERPRETANDO OS CÓDIGOS DE BARRAS
Trabalhando com seus alunos do Ensino Fundamental você pode levar (ou pedir que eles tragam para sala de aula) diversas embalagens de produtos com seus respectivos códigos de barras. Comparando essas embalagens, através de informações como: País de origem, produto, empresa, ... Os alunos poderão tirar importantes conclusões sobre as informações contidas nos 12 primeiros dígitos, antes até de se trabalhar com o cálculo do 13º dígito, pela aritmética modular.
Você pode apenas informar, como preparação da atividade, que os 12 primeiros dígitos dividem-se em 3 partes, cada uma delas com uma informação sobre o produto ou sobre o livro.
Em seguida, através de investigação com os rótulos que levaram, estimule que tentem perceber o que cada uma dessas três partes está informando sobre o produto.
Vejamos algumas embalagens, como exemplo:
CONCLUSÃO DA ATIVIDADE INVESTIGATIVA:
1) Através da sua observação nos exemplos dados, você saberia inferir alguma conclusão sobre os três primeiros algarismos do código?
Resposta: País de registro do produto ou do livro (ou idioma).
2) E sobre o segundo bloco, com 4 algarismos, o que você é capaz de concluir?
Resposta: Empresa fabricante do produto ou editora do livro.
3) E com relação ao terceiro bloco, com 5 algarismos, saberia dizer alguma coisa?
Resposta: Define o produto daquele fabricante ou livro e autoria.
4) E sobre o décimo terceiro dígito, você foi capaz de descobrir alguma coisa?
Resposta: É o código de segurança e aí que retornamos à Aritmética Modular.
CÁLCULO DO 13º DÍGITO - Algarismo de controle no sistema EAN -13 (ISBN dos livros, itens dos supermercados, comércio em geral)
Nesse caso é usado a congruência módulo 10 e os fatores que constituem a base de multiplicação são os dígitos 1 e 3, que vão se repetindo da esquerda para a direita, correspondendo a cada um dos 12 primeiros números do código.
Se é a sequência formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtos obtidos. Se a soma obtida é S, o número S + a13 deve ser múltiplo de 10, ou seja, S + a13 º 0 mod. 10.
Se A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12 é a sequência formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtos obtidos. Se a soma obtida é S, o número S + a13 deve ser múltiplo de 10, ou seja, S + a13 0 mod. 10.
Usaremos o código de barras acima, de uma garrafa para bebidas, de Portugal, como nosso primeiro exemplo.
Vamos efetuar os cálculos para a determinação do dígito de controle (que estamos vendo ser o dígito 7).
Efetuando os produtos, teremos:
8 + 12 + 2 + 12 + 9 + 0 + 6 + 6 + 0 + 3 + 7 + 18 = 83
83 : 10 = 8
Logo, o dígito de controle será igual a 7 (10 – 3). Note que 83 + 7 = 90 (múltiplo de 10).
Essa é para você resolver. Descubra o valor do dígito de controle do código de barras abaixo:
Vamos escrever a sequência dos 12 primeiros dígitos, repetindo abaixo deles, da esquerda para a direita, a sequência 1, 3, 1, 3, 1, 3, ...
Vejamos agora a soma dos produtos encontrados:
S = 7 + 24 + 9 + 12 + 3 + 6 + 1 + 18 + 1 + 12 + 0 + 9 = 102
Como o resultado da divisão de 102 por 10, deixa resto 2, o dígito que estamos procurando será igual a 8 (10 – 2). Logo, o dígito verificador desse código de barras EAN-13 é 8.
O número de CPF de uma pessoa, no Brasil, é constituído de 11 dígitos, sendo um primeiro bloco com 9 algarismos e um segundo, com mais dois algarismos, que são os dígitos de controle ou de verificação . A determinação desses dois dígitos de controle é também feita através da congruência aritmética, módulo 11, semelhante às que mostramos anteriormente.
No caso do CPF, o décimo dígito (que é o primeiro dígito verificador) é o resultado de uma congruência, módulo 11 de um número obtido por uma operação dos primeiros nove algarismos.
Se é a sequência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar por a10 deve ser tal que ao ser subtraído da soma obtida, deve gerar um múltiplo de 10, isto é, se a soma obtida é S, o número S - a10 deve ser múltiplo de 11, ou seja, S - a10 º 0 mod 11. Note que tal número será o próprio resto da divisão por 11 da soma obtida.
A determinação do segundo dígito de controle é feita de modo similar, sendo que agora acrescentamos o décimo dígito (que já foi calculado anteriormente) e usamos uma base de multiplicação de 0 a 9.
Exemplo: 235 343 104 ? ?
a)Cálculo do primeiro dígito de controle:
S = 2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 3 x 6 + 1 x 7 + 0 x 8 + 4 x 9 = 116.
Dividindo o número 116 por 11, teremos: 116 : 11 = 10.
Dessa forma, o primeiro dígito de controle será o algarismo 6.
b)Cálculo do segundo dígito de controle:
S = 2 x 0 + 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 3 x 5 + 1 x 6 + 0 x 7 + 4 x 8 + 6 x 9 = 145
Dividindo o número 145 por 11, teremos: 145 : 11 = 13.
Logo, o segundo dígito de controle é o 2.
Concluímos então que, no nosso exemplo, o CPF completo seria: 235 343 104 – 62
OBSERVAÇÃO:
Se o resto da divisão fosse 10, ou seja, se o número obtido fosse congruente ao 10, módulo 11, usaríamos, nesse caso, o dígito zero.
Temos ainda a informação de que o nono dígito (da esquerda para a direita) representa a região fiscal onde o CPF foi emitido. Verifique esse código na lista abaixo:
Nas aulas de matemática da Educação Básica diversas atividades ricas e interdisciplinares podem ser desenvolvidas, usando algumas noções simples sobre criptografia. Também na criptografia, como mostraremos a seguir, estão presentes noções da Teoria dos Números, como o conceito de congruência, módulo k.
Congruência e Criptografia
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O que está escrito acima?
Uma pista...substitua cada letra pela letra que fica duas posições antes dela no alfabeto completo (26 letras). Você vai obter:
“Ensino Fundamental” .
Nesse caso, para entendermos a mensagem, precisamos saber qual a chave usada. De posse dessa informação foi fácil decifrar o código.
Nesse primeiro exemplo foi como se tivéssemos usado uma função matemática (y = x + 2), que transformava cada letra numa outra, situada “duas posições” depois, no alfabeto. O receptor teria de aplica a função inversa para decifrar a mensagem.
O imperador romano Júlio César usava algo desse tipo para mandar suas mensagens. Se ele combinava “pule três”, estava indicando que cada letra estava sendo substituída por outra situada, anteriormente, três posições no alfabeto.
O receptor, de comum acordo com o emissor, colocava uma “máscara” sobre a tabela, lendo a mensagem.
Sugestão de atividade: Chave numérica simples.
Exemplo: Somar 4
Com essa chave, cada letra fica substituída pela letra cujo número corresponde ao número original, aumentado de 4. Quando acontecer do resultado ser superior ao 26, voltamos ao início do alfabeto. Por exemplo, o número 28 corresponderá à letra b, pois 28 = 26 + 2 (temos agora um caso de congruência, módulo 26 ou seja 28 º 2 mod 26 ).
Em classes do Ensino Médio o professor poderia representar cada chave por uma função bijetora (para que tivesse inversa) e o receptor da mensagem criptografada teria que obter a função inversa, para traduzir a mensagem recebida.
Depois da Segunda Guerra Mundial, com o desenvolvimento dos computadores, a área realmente incorporou complexos algoritmos matemáticos. Na verdade, esse trabalho criptográfico formou a base para a ciência da computação moderna.
Diversos filmes e livros têm explorado de forma inteligente esse tema, como “Uma Mente Brilhante” um filme estrelado por Russel Crowe e que contava a história do brilhante matemático John Nash. Os livros “Fortaleza Digital” e “Código Da Vinci”, de Don Brown também tratam desse tema.
A HISTÓRIA DE BOB E ALICE (Criptografia e chaves públicas)
Imaginemos um casal, Alice e Bob, que vivem isolados e apenas podem comunicar através do correio. Eles sabem que o carteiro é um tremendo “fofoqueiro” e que lê todas as suas cartas. Alice tem uma mensagem para Bob e não quer que ela seja lida. Que é que pode fazer? Ela pensou em lhe enviar um cofre com a mensagem, fechado a cadeado. Mas como lhe fará chegar a chave? Não pode enviar dentro do cofre, pois assim Bob não o poderá abrir. Se enviar a chave em separado, o carteiro pode fazer uma cópia.
Depois de muito pensar, ela tem uma idéia. Envia-lhe o cofre fechado com um cadeado. Sabe que Bob é esperto e acabará por perceber a sua idéia. Com mais uma ida e uma volta do correio, e sem nunca terem trocado chaves, a mensagem chega até Bob, que abre o cofre e a lê. Como é que você acha que resolveram o problema? Pense bem no assunto, tente responder a questão. É simples... depois que você descobrir, é claro.
O “truque” usado foi o seguinte: Bob colocou um outro cadeado no cofre e ele tinha a chave desse segundo cadeado. Devolve o cofre a Alice por correio, desta vez fechado com os dois cadeados. Alice remove o seu cadeado, com a chave que possui e reenvia o cofre pelo correio só com o cadeado colocado por Bob. É claro que Bob tem apenas que abrir o cofre, com a sua própria chave e ler a mensagem enviada pela sua amada. O carteiro não tem como saber o conteúdo do cofre.
CRATO, N,. Alice e Bob. Expresso / Revista, 22 de Setembro, pp. 118-120. (2001).
Na criptografia usam-se chaves que, de certa forma, são análogas à estratégia usada pelos namorados de nossa história.
Alice e Bob são personagens fictícios, mas são nomes sistematicamente utilizados pelos especialistas de criptografia. É mais interessante do que falar apenas no emissor e receptor, ou apenas em A e B. Costuma se acrescentar a eles uma terceira personagem, representada na nossa história pelo carteiro, que costuma receber o nome de Eva - «Eve», em inglês - e que representa aquela que se põe à escuta - ou seja, aquela que “eavesdrop".
Esta história relata a velha charada do sigilo nas comunicações e uma de suas brilhantes soluções. Talvez tenha servido de inspiração para os três jovens norte-americanos, Whitefield Diffie, Martin Hellman e Ralph Merkle, ao construirem em 1976 um sistema de criptografia em que o segredo da comunicação é assegurado por duas chaves, que os comunicantes não precisam trocar entre si, como aconteceu na historinha do Bob e da Alice. Foi esta invenção que inspirou o sistema de criptografia RSA. Mostraremos que o sistema que eles criaram está também baseado na aritmética modular.
Simon Singh , no seu “Livro dos Códigos”, dá um exemplo que retrata bem o processo matemático da aritmética modular, envolvido nessas chaves públicas.
Os comunicantes, como Alice e Bob combinam nos números que servem: o primeiro de base para uma potenciação e o segundo para o módulo da congruência. Digamos que tenham optado pelos números 5 e 11. Estariam então se referindo ao cálculo de 5x e da congruência no módulo 11.
(O expoente x seria secreto, à escolha de cada um deles).
Alice escolhe 3 para seu número secreto (expoente da potência).
Alice calcula 53 = 125 e, através de congruência módulo 11, gera o número 4, pois 125 dividido por 11 deixa resto 4. Alice envia o resultado 4 para Bob.
Bob escolhe 6 para seu número secreto (novamente o expoente da potência)
Bob calcula 56 = 15 625 e, através de congruência módulo 11, gera o número 5, pois 15 625 dividido por 11 deixa resto 5.
Bob envia o resultado 5 para Alice.
Note que, mesmo que esses dois números que eles enviaram um ao outro, fossem interceptados, as pessoas não teriam como saber a chave final do processo.
Alice pega o resultado de Bob, 5, e o seu número secreto, 3, e calcula 53 = 125 = 4 (mod 11). 125 dividido por 11 deixa resto 4.
Bob pega o resultado de Alice, 4, e o seu número secreto, 6, e calcula 46 = 4096 = 4 (mod 11). 4096 dividido por 11 também deixa resto 4.
Veja que Alice e Bob encontraram o mesmo número, 4, sem que tivessem informado um ao outro os seus números secretos pessoais. Esse número seria agora usado como chave para a composição das mensagens criptográficas. A congruência, como foi aplicada aqui, funcionou exatamente como a história dos cadeados e do correio, contada por Crato.
Tente fazer com outros números secretos, verifique que você sempre irá obter resultados iguais. Por que será?
Trabalhando com seus alunos
Esse tipo de trabalho com os códigos de identificação e a criptografia é uma excelente oportunidade de você relacionar conteúdos importantes da matemática, como divisibilidade e funções, com o cotidiano das pessoas. É o que denominamos de contextualização. Prepare atividades como as que sugerimos e aproveite para comentar com seus alunos sobre fraudes, ética, cidadania e demais temas que possam ser transversais às aulas de matemática.
Bibliografia:
A Magia da Matemática: Atividades Investigativas, Curiosidades e Histórias da Matemática
Editora Ciência Moderna – www.lcm.com.br
Prof. Ilydio Pereira de Sá
UERJ – USS - UNIFESO
A matemática através dos tempos: Um guia fácil e pratico para professores entusiastas
Editora BLUCHER – www.blucher.com.br
Elza F. Gomide e Helena Castro
Estar alfabetizado nos dias de hoje, supõe saber ler e interpretar dados apresentados, de maneira organizada e construir representações, para formular e resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise dos diversos tipos de informações.
Essa característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma demanda em abordar elementos do tratamento da informação, desde os ciclos iniciais.
- PCN – BLOCOS DE CONTEÚDO – TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
Dicionário do Aurélio: Código = Vocabulário ou sistema de sinais convencionais ou secretos utilizados em correspondências ou comunicações.
- CÓDIGOS NO COTIDIANO – CARÁTER INTERDISCIPLINAR E CONTEXTUALIZAÇÃO
Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos números é a aritmética modular, que envolve o conceito de congruência. Uma congruência é a relação entre dois números que, divididos por um terceiro - chamado módulo de congruência - deixam o mesmo resto. Por exemplo, o número 9 é congruente ao número 16, módulo 7, pois ambos deixam resto 2, ao serem divididos por 7. Representamos essa congruência do exemplo por 9 º16, mod. 7.
Foi o brilhante Gauss que observou que usávamos com muita frequência frases do tipo “a dá o mesmo resto que b quando divididos por k” e que essa relação tinha um comportamento semelhante à igualdade. Foi Gauss então que introduziu uma notação específica para este fato e que denominou de “congruência”.
a º b, mod. k Þ a e b, divididos por k, dão o mesmo resto.
Tema da Teoria dos Números, relacionado à divisibilidade e restos de uma divisão de números naturais.
O que não tem sido muito explorado? As aplicações desse tema no cotidiano das pessoas.
É um tema bastante atual, gerador de excelentes oportunidades de contextualização no processo de ensino / aprendizagem de matemática, e que pode ser trabalhado já nas classes do Ensino Fundamental.
- ATIVIDADES INICIAIS:
Exemplo 1:
Vamos apresentar uma questão retirada do banco de questões do site da OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas).
A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia, conforme mostra a figura a seguir. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118?
SOLUÇÃO: Vejamos o que está acontecendo?
| A | B | C | D | E | F | G | H |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
• Os números de cada fio formam uma P.A de razão igual a 8.
• O fio A = (8. n, com n Î IN).
• O fio B = (8.n + 1, com n Î IN).
• O fio C = (8.n + 2, com n Î IN).
• ...
• O fio H = (8.n + 7, com n Î IN).
A qual fio pertence o número 118? Ou seja, qual o resto da divisão de 118 por 8?
Verificamos que o número 118 é igual a 8 . 14 + 6, ou seja, pertence à família dos números que estão no fio G.
Verifique que os números 14 e 22, por exemplo, também estariam sobre esse fio G pois ambos divididos por 8 deixam resto 6. Isso significa que tais números são congruentes no módulo 8.
Simbolicamente, poderemos escrever: 14 º 22, mod. 8
Exemplo 2: Aritmética do relógio
Trata-se de um caso de congruência, módulo 12 (nos relógios analógicos, é claro). Note que 13 horas é congruente a 1 hora, no módulo 12. Ambos divididos por 12, deixam resto 1. 17 horas é congruente a 5 horas, módulo 12. Tanto 17, como 5, divididos por 12, deixam resto 5... e assim, sucessivamente.
1 º 13 º 25 º ...., mod 12
5 º 17 º 29 º ...., mod 12
Assim as horas marcadas num relógio analógico constituem também um exemplo clássico de congruência, nesse caso com módulo 12, aplicado ao cotidiano das pessoas.
Exemplo 3: Calendários e congruência módulo 7.
Verificamos que o dia 1 de janeiro de 2007 caiu numa segunda-feira. Vejamos a primeira semana desse ano.
Segunda ® 1 Terça ® 2 Quarta ® 3 Quinta ® 4 Sexta ® 5 Sábado ® 6 Domingo ® 7
Qualquer data desse ano recairá nessa sequência, através da congruência, módulo 7.
5 de julho de 2007?
Primeiro vamos contar quantos dias existem de 1º de janeiro até 5 de julho.
Janeiro = 31 dias
Fevereiro = 28 dias (2007 não foi bissexto)
Março = 31 dias
Abril = 30 dias
Maio = 31 dias
Junho = 30 dias
Julho = 5 dias
Total = 186 dias.
Se dividirmos 186 por 7, teremos:
186 : 7 = 26
Logo, o 186 é congruente ao 4, módulo 7. Como o dia 4 foi uma quinta-feira, o dia 186 também o será.
Congruência, módulo k, oportunidade de Contextualização da Matemática da Educação Básica.
Conceitos Básicos da Congruência módulo k:
Se os inteiros a e b dão o mesmo resto quando divididos pelo inteiro k (k > 0) então podemos dizer que a e b são côngruos, módulo k e podemos representar:
a º b mod k
Uma maneira equivalente de dizer isso é afirmar que a diferença (a – b) ou (b – a) é divisível por k, ou que k é divisor dessa diferença. Veja um exemplo:
47 º 43 mod 4, logo (47 – 43) é divisível por 4.
A congruência define uma equivalência, pois atende às propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja:
a º a, mod k (reflexiva)
a º b, mod k, então b º a, mod k (simétrica)
a º b, mod k e b º c, mod k, então a º c, mod k (transitiva)
Aplicações da Congruência módulo k
Em qualquer texto, um erro de ortografia numa palavra pode ser facilmente percebido, pois ou a palavra não faz parte do idioma ou não faz sentido com o contexto. Por exemplo, se digitamos engenheior, logo percebemos que fizemos uma inversão das duas últimas letras. Mas, quando isso ocorre com os algarismos de um número, de um código de identificação qualquer, não teríamos como perceber a troca num simples olhar. Para isso e também para minimizar fraudes, foram criados os chamados dígitos de controle ou verificação. Tais dígitos são normalmente baseados na noção de congruência que mostramos anteriormente.
Mostraremos nesse capítulo alguns desses casos de dígitos de controle usados como identificadores.
- 1 - ISBN DE CATALOGAÇÃO DE LIVROS – PARA PUBLICAÇÕES ANTERIORES A JANEIRO DE 2007
No ISBN, as publicações eram identificadas através de 10 algarismos, sendo que o último (dígito de controle) era calculado através da aritmética modular envolvendo operações matemáticas com os outros nove dígitos.
Os nove primeiros dígitos - 3 partes, de tamanho variável, transmitem informações sobre o país, editora e sobre o livro em questão.
Cálculo do dígito final do ISBN (controle).
Representando por a sequência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} e somar os produtos obtidos. A soma obtida representamos por S.
Dígito de controle = a10
S + a10 deve ser múltiplo de 11, ou seja, S + a10 º 0 mod 11.
OBS: Em todos os casos de códigos de identificação ocorrerá uma soma S, obtida a partir de uma base de multiplicação. S + x ou S – x deverá ser côngruo a zero, módulo 10 ou módulo 11.
Vejamos um exemplo:
Temas e Problemas Elementares, da SBM, temos o seguinte código do ISBN: 85-85818-29-8. Vejamos o cálculo do dígito de controle que, como estamos observando, é igual a 8.
| 8 | 5 | 8 | 5 | 8 | 1 | 8 | 2 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
Cálculo da soma S:
8 . 10 + 5 . 9 + 8 . 8 + 5 . 7 + 8 . 6 + 1 . 5 + 8 . 4 + 2 . 3 + 9 . 2 =
80 + 45 + 64 + 35 + 48 + 5 + 32 + 6 + 18 = 333. Logo, S = 333.
333 : 11 = 30. S + a10 = múltiplo de 11, concluímos que tal número será igual a 8, pois 11 – 3 = 8.
Isso significa que 333 + 8 = 341.
341 º 0 mod 11.
Tente descobrir ...
O livro Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade, da Editora Thompson, tem o seguinte código ISBN 85-221-0399-? Qual o seu dígito de controle?
Solução:
| 8 | 5 | 2 | 2 | 1 | 0 | 3 | 9 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
Efetuando a soma dos produtos correspondentes, teremos:
80 + 45 + 16 + 14 + 6 + 0 + 12 + 27 + 18 = 218. Logo, S = 218.
218 : 8 = 19
Dessa forma, o dígito de controle será igual a 2 (11 – 9 = 2).
OBSERVAÇÕES:
Os dois livros que usamos como exemplo tem o prefixo 85, que identifica livros publicados no Brasil.
No ISBN, se o dígito for igual a 10 (no caso do resto da divisão por 11 ser igual a 1), como se pretende que sejam utilizados dez símbolos alfanuméricos, é usado o símbolo do 10 na numeração romana, o X.
A partir de 01 de Janeiro de 2007, o ISBN passou a contar com 13 dígitos.
O novo código fica precedido pelo número 978, porém os prefixos editoriais não terão mudança. Esta formatação deixou os códigos do ISBN semelhantes aos códigos de barras EAN-13, que já eram usados para a grande maioria das mercadorias que compramos no comércio em geral.
Dessa forma, os códigos do ISBN passaram também a obedecer a todos os critérios usados nas identificações por códigos de barras. A seguir veremos mais informações sobre os códigos de barras.
- 2 - CÓDIGO DE BARRAS EAN-13
O código mais utilizado atualmente é o EAN/UCC-13, que usa um conjunto de 13 dígitos, sendo que o último (dígito verificador) é obtido mediante congruência, módulo k.
ATIVIDADE DE INVESTIGAÇÃO – INTERPRETANDO OS CÓDIGOS DE BARRAS
Trabalhando com seus alunos do Ensino Fundamental você pode levar (ou pedir que eles tragam para sala de aula) diversas embalagens de produtos com seus respectivos códigos de barras. Comparando essas embalagens, através de informações como: País de origem, produto, empresa, ... Os alunos poderão tirar importantes conclusões sobre as informações contidas nos 12 primeiros dígitos, antes até de se trabalhar com o cálculo do 13º dígito, pela aritmética modular.
Você pode apenas informar, como preparação da atividade, que os 12 primeiros dígitos dividem-se em 3 partes, cada uma delas com uma informação sobre o produto ou sobre o livro.
Em seguida, através de investigação com os rótulos que levaram, estimule que tentem perceber o que cada uma dessas três partes está informando sobre o produto.
Vejamos algumas embalagens, como exemplo:
789 1000 25260 4 / 789 1000 14810 5
CONCLUSÃO DA ATIVIDADE INVESTIGATIVA:
1) Através da sua observação nos exemplos dados, você saberia inferir alguma conclusão sobre os três primeiros algarismos do código?
Resposta: País de registro do produto ou do livro (ou idioma).
2) E sobre o segundo bloco, com 4 algarismos, o que você é capaz de concluir?
Resposta: Empresa fabricante do produto ou editora do livro.
3) E com relação ao terceiro bloco, com 5 algarismos, saberia dizer alguma coisa?
Resposta: Define o produto daquele fabricante ou livro e autoria.
4) E sobre o décimo terceiro dígito, você foi capaz de descobrir alguma coisa?
Resposta: É o código de segurança e aí que retornamos à Aritmética Modular.
CÁLCULO DO 13º DÍGITO - Algarismo de controle no sistema EAN -13 (ISBN dos livros, itens dos supermercados, comércio em geral)
Nesse caso é usado a congruência módulo 10 e os fatores que constituem a base de multiplicação são os dígitos 1 e 3, que vão se repetindo da esquerda para a direita, correspondendo a cada um dos 12 primeiros números do código.
Se é a sequência formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtos obtidos. Se a soma obtida é S, o número S + a13 deve ser múltiplo de 10, ou seja, S + a13 º 0 mod. 10.
Se A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12 é a sequência formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtos obtidos. Se a soma obtida é S, o número S + a13 deve ser múltiplo de 10, ou seja, S + a13 0 mod. 10.
Vamos efetuar os cálculos para a determinação do dígito de controle (que estamos vendo ser o dígito 7).
| 8 | 4 | 2 | 4 | 9 | 0 | 6 | 2 | 0 | 1 | 7 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 |
Efetuando os produtos, teremos:
8 + 12 + 2 + 12 + 9 + 0 + 6 + 6 + 0 + 3 + 7 + 18 = 83
83 : 10 = 8
Logo, o dígito de controle será igual a 7 (10 – 3). Note que 83 + 7 = 90 (múltiplo de 10).
Essa é para você resolver. Descubra o valor do dígito de controle do código de barras abaixo:
Vamos escrever a sequência dos 12 primeiros dígitos, repetindo abaixo deles, da esquerda para a direita, a sequência 1, 3, 1, 3, 1, 3, ...
| 7 | 8 | 9 | 4 | 3 | 2 | 1 | 6 | 1 | 4 | 0 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 |
Vejamos agora a soma dos produtos encontrados:
S = 7 + 24 + 9 + 12 + 3 + 6 + 1 + 18 + 1 + 12 + 0 + 9 = 102
Como o resultado da divisão de 102 por 10, deixa resto 2, o dígito que estamos procurando será igual a 8 (10 – 2). Logo, o dígito verificador desse código de barras EAN-13 é 8.
- 3 - CADASTRO DAS PESSOAS FÍSICAS NA RECEITA FEDERAL – CPF
O número de CPF de uma pessoa, no Brasil, é constituído de 11 dígitos, sendo um primeiro bloco com 9 algarismos e um segundo, com mais dois algarismos, que são os dígitos de controle ou de verificação . A determinação desses dois dígitos de controle é também feita através da congruência aritmética, módulo 11, semelhante às que mostramos anteriormente.
No caso do CPF, o décimo dígito (que é o primeiro dígito verificador) é o resultado de uma congruência, módulo 11 de um número obtido por uma operação dos primeiros nove algarismos.
Se é a sequência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar por a10 deve ser tal que ao ser subtraído da soma obtida, deve gerar um múltiplo de 10, isto é, se a soma obtida é S, o número S - a10 deve ser múltiplo de 11, ou seja, S - a10 º 0 mod 11. Note que tal número será o próprio resto da divisão por 11 da soma obtida.
A determinação do segundo dígito de controle é feita de modo similar, sendo que agora acrescentamos o décimo dígito (que já foi calculado anteriormente) e usamos uma base de multiplicação de 0 a 9.
Exemplo: 235 343 104 ? ?
a)Cálculo do primeiro dígito de controle:
| 2 | 3 | 5 | 3 | 4 | 3 | 1 | 0 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
S = 2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 3 x 6 + 1 x 7 + 0 x 8 + 4 x 9 = 116.
Dividindo o número 116 por 11, teremos: 116 : 11 = 10.
Dessa forma, o primeiro dígito de controle será o algarismo 6.
b)Cálculo do segundo dígito de controle:
| 2 | 3 | 5 | 3 | 4 | 3 | 1 | 0 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
S = 2 x 0 + 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 3 x 5 + 1 x 6 + 0 x 7 + 4 x 8 + 6 x 9 = 145
Dividindo o número 145 por 11, teremos: 145 : 11 = 13.
Logo, o segundo dígito de controle é o 2.
Concluímos então que, no nosso exemplo, o CPF completo seria: 235 343 104 – 62
OBSERVAÇÃO:
Se o resto da divisão fosse 10, ou seja, se o número obtido fosse congruente ao 10, módulo 11, usaríamos, nesse caso, o dígito zero.
Temos ainda a informação de que o nono dígito (da esquerda para a direita) representa a região fiscal onde o CPF foi emitido. Verifique esse código na lista abaixo:
- A CRIPTOGRAFIA
Nas aulas de matemática da Educação Básica diversas atividades ricas e interdisciplinares podem ser desenvolvidas, usando algumas noções simples sobre criptografia. Também na criptografia, como mostraremos a seguir, estão presentes noções da Teoria dos Números, como o conceito de congruência, módulo k.
Congruência e Criptografia
- Gpukpq Hwpfcogpvcn
O que está escrito acima?
Uma pista...substitua cada letra pela letra que fica duas posições antes dela no alfabeto completo (26 letras). Você vai obter:
“Ensino Fundamental” .
Nesse caso, para entendermos a mensagem, precisamos saber qual a chave usada. De posse dessa informação foi fácil decifrar o código.
Nesse primeiro exemplo foi como se tivéssemos usado uma função matemática (y = x + 2), que transformava cada letra numa outra, situada “duas posições” depois, no alfabeto. O receptor teria de aplica a função inversa para decifrar a mensagem.
O imperador romano Júlio César usava algo desse tipo para mandar suas mensagens. Se ele combinava “pule três”, estava indicando que cada letra estava sendo substituída por outra situada, anteriormente, três posições no alfabeto.
- AS MÁQUINAS DA RENASCENÇA
O receptor, de comum acordo com o emissor, colocava uma “máscara” sobre a tabela, lendo a mensagem.
Sugestão de atividade: Chave numérica simples.
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
Exemplo: Somar 4
Com essa chave, cada letra fica substituída pela letra cujo número corresponde ao número original, aumentado de 4. Quando acontecer do resultado ser superior ao 26, voltamos ao início do alfabeto. Por exemplo, o número 28 corresponderá à letra b, pois 28 = 26 + 2 (temos agora um caso de congruência, módulo 26 ou seja 28 º 2 mod 26 ).
CIDADE MARAVILHOSA +4 = GMHEHI QEVEZMPLSWE
GMHEHI QEVEZMPLSWE -4 = CIDADE MARAVILHOSA
Em classes do Ensino Médio o professor poderia representar cada chave por uma função bijetora (para que tivesse inversa) e o receptor da mensagem criptografada teria que obter a função inversa, para traduzir a mensagem recebida.
Depois da Segunda Guerra Mundial, com o desenvolvimento dos computadores, a área realmente incorporou complexos algoritmos matemáticos. Na verdade, esse trabalho criptográfico formou a base para a ciência da computação moderna.
Diversos filmes e livros têm explorado de forma inteligente esse tema, como “Uma Mente Brilhante” um filme estrelado por Russel Crowe e que contava a história do brilhante matemático John Nash. Os livros “Fortaleza Digital” e “Código Da Vinci”, de Don Brown também tratam desse tema.
A HISTÓRIA DE BOB E ALICE (Criptografia e chaves públicas)
Imaginemos um casal, Alice e Bob, que vivem isolados e apenas podem comunicar através do correio. Eles sabem que o carteiro é um tremendo “fofoqueiro” e que lê todas as suas cartas. Alice tem uma mensagem para Bob e não quer que ela seja lida. Que é que pode fazer? Ela pensou em lhe enviar um cofre com a mensagem, fechado a cadeado. Mas como lhe fará chegar a chave? Não pode enviar dentro do cofre, pois assim Bob não o poderá abrir. Se enviar a chave em separado, o carteiro pode fazer uma cópia.
Depois de muito pensar, ela tem uma idéia. Envia-lhe o cofre fechado com um cadeado. Sabe que Bob é esperto e acabará por perceber a sua idéia. Com mais uma ida e uma volta do correio, e sem nunca terem trocado chaves, a mensagem chega até Bob, que abre o cofre e a lê. Como é que você acha que resolveram o problema? Pense bem no assunto, tente responder a questão. É simples... depois que você descobrir, é claro.
O “truque” usado foi o seguinte: Bob colocou um outro cadeado no cofre e ele tinha a chave desse segundo cadeado. Devolve o cofre a Alice por correio, desta vez fechado com os dois cadeados. Alice remove o seu cadeado, com a chave que possui e reenvia o cofre pelo correio só com o cadeado colocado por Bob. É claro que Bob tem apenas que abrir o cofre, com a sua própria chave e ler a mensagem enviada pela sua amada. O carteiro não tem como saber o conteúdo do cofre.
CRATO, N,. Alice e Bob. Expresso / Revista, 22 de Setembro, pp. 118-120. (2001).
Na criptografia usam-se chaves que, de certa forma, são análogas à estratégia usada pelos namorados de nossa história.
Alice e Bob são personagens fictícios, mas são nomes sistematicamente utilizados pelos especialistas de criptografia. É mais interessante do que falar apenas no emissor e receptor, ou apenas em A e B. Costuma se acrescentar a eles uma terceira personagem, representada na nossa história pelo carteiro, que costuma receber o nome de Eva - «Eve», em inglês - e que representa aquela que se põe à escuta - ou seja, aquela que “eavesdrop".
Esta história relata a velha charada do sigilo nas comunicações e uma de suas brilhantes soluções. Talvez tenha servido de inspiração para os três jovens norte-americanos, Whitefield Diffie, Martin Hellman e Ralph Merkle, ao construirem em 1976 um sistema de criptografia em que o segredo da comunicação é assegurado por duas chaves, que os comunicantes não precisam trocar entre si, como aconteceu na historinha do Bob e da Alice. Foi esta invenção que inspirou o sistema de criptografia RSA. Mostraremos que o sistema que eles criaram está também baseado na aritmética modular.
Simon Singh , no seu “Livro dos Códigos”, dá um exemplo que retrata bem o processo matemático da aritmética modular, envolvido nessas chaves públicas.
Os comunicantes, como Alice e Bob combinam nos números que servem: o primeiro de base para uma potenciação e o segundo para o módulo da congruência. Digamos que tenham optado pelos números 5 e 11. Estariam então se referindo ao cálculo de 5x e da congruência no módulo 11.
(O expoente x seria secreto, à escolha de cada um deles).
Alice escolhe 3 para seu número secreto (expoente da potência).
Alice calcula 53 = 125 e, através de congruência módulo 11, gera o número 4, pois 125 dividido por 11 deixa resto 4. Alice envia o resultado 4 para Bob.
Bob escolhe 6 para seu número secreto (novamente o expoente da potência)
Bob calcula 56 = 15 625 e, através de congruência módulo 11, gera o número 5, pois 15 625 dividido por 11 deixa resto 5.
Bob envia o resultado 5 para Alice.
Note que, mesmo que esses dois números que eles enviaram um ao outro, fossem interceptados, as pessoas não teriam como saber a chave final do processo.
Alice pega o resultado de Bob, 5, e o seu número secreto, 3, e calcula 53 = 125 = 4 (mod 11). 125 dividido por 11 deixa resto 4.
Bob pega o resultado de Alice, 4, e o seu número secreto, 6, e calcula 46 = 4096 = 4 (mod 11). 4096 dividido por 11 também deixa resto 4.
Veja que Alice e Bob encontraram o mesmo número, 4, sem que tivessem informado um ao outro os seus números secretos pessoais. Esse número seria agora usado como chave para a composição das mensagens criptográficas. A congruência, como foi aplicada aqui, funcionou exatamente como a história dos cadeados e do correio, contada por Crato.
Tente fazer com outros números secretos, verifique que você sempre irá obter resultados iguais. Por que será?
Trabalhando com seus alunos
Esse tipo de trabalho com os códigos de identificação e a criptografia é uma excelente oportunidade de você relacionar conteúdos importantes da matemática, como divisibilidade e funções, com o cotidiano das pessoas. É o que denominamos de contextualização. Prepare atividades como as que sugerimos e aproveite para comentar com seus alunos sobre fraudes, ética, cidadania e demais temas que possam ser transversais às aulas de matemática.
Bibliografia:
A Magia da Matemática: Atividades Investigativas, Curiosidades e Histórias da Matemática
Editora Ciência Moderna – www.lcm.com.br
Prof. Ilydio Pereira de Sá
UERJ – USS - UNIFESO
A matemática através dos tempos: Um guia fácil e pratico para professores entusiastas
Editora BLUCHER – www.blucher.com.br
Elza F. Gomide e Helena Castro
