A história da álgebra é extensa e havido muitas circunstâncias adversas e de grande complexidade em todo o seu avanço, mas as de maior importância há feitos que se podem distinguir na álgebra dos grandes períodos. O primeiro deles inclui seu início até o século XIX e o segundo compreende os dois últimos séculos da nossa era. A grande distinção entre eles é que, na primeira etapa, o principal objetivo da álgebra está na resolução de equações algébricas, por que se estuda e desenvolve todas as leis concierne e que de um modo direto ou indireto está relacionado com elas. Pelo contrário, na segunda etapa os objetivos da álgebra são distintas. Por um lado, se já existe resultado do problema de equações cuja resolução em cuja resolução tem limitado grandes matemáticos que serão mencionados ao longo deste artigo; e, por outro lado, as preocupações destas personalidades ilustres se disvirtuam e se centram principalmente no estudo de estruturas algébricas.
As origens da álgebra pode ser associado ao conceito de número, que sem dúvida surgiu devido a necessidade de contar objetos. No princípio, isto se contava de forma rudimentar, utilizando dedos, pedras (curiosamente, a palavra cálculo deriva da palavra latina calculus que remete a contar com pedras). A série de números naturais era, obviamente, limitada numa primeira etapa de recursos muito arcaicos, não obstante o qual existia uma consciência generalizada sobre a necessidade de ampliar o espaço de trabalho com ditos números para abranger um campo muito maior. A sequência que vamos descrever em diferentes etapas que está se configurando na história da álgebra, analisando os conhecimentos e avanços que se tem realizado em cada uma delas.
- CIVILIZAÇÃO EGÍPCIA
A civilização egípcia é a primeira a lidar com a álgebra com profundidade e rigor matemático. Os egípcios já possuiam um sistema de numeração que, posteriormente, se assemelharia ao sistema de numeração romano. Era de caráter hieroglífico e estava baseado em uma série de números especiais que se denominavam números chave (1, 10, 100, 1000, etc.). Para a representação destes, os egípcios criaram distintos símbolos como bastão, laço e figuras diversas. A representação dos restos dos números no uso destes números chaves, e deu como resultado o progresso de uma álgebra relativamente simples, impulsionados pela necessidade de resolver problemas da vida diária, tales como a divisão de colheitas e materiais.
No que diz respeito a operações e cálculos empregados na civilização egípcia, cabe destacar que já se utilizavam operações e regras de cálculo com números inteiros positivos, assim como os números fracionários positivos. Somente trabalhavam com as frações como divisores de uma unidade, e as usavam para expressar o resto das frações, combinando-as entre si. Não obstante, ainda se encontravam longe dos conhecimentos e manuseio dos números negativos.
Em um nível mais avançado, os egípcios foram capazes de resolver equações do primeiro grau pelo método por eles denominado como “de falsa proposição”. Nestas equações, que podemos considerar primitivas ou rudimentárias, a incógnita x recebeu o nome de monte.
- CIVILIZAÇÕES BABILÔNICA E MESOPOTÂMIA
A diferença da álgebra empregada pelos egípcios, o sistema de numeração utilizado pelos mesopotâmicos era de caráter posicional sexagesimal. O grande avanço dessa civilização em matéria de números consistiu em que um mesmo símbolo podia representar quantidades distintas, dependendo unicamente do lugar ou posição em que se colocasse.
A diferença dos egípcios, que chegaram a resolver mas que equações do primeiro grau, já no século XVIII antes de Cristo, os matemáticos da Mesopotâmia e da Babilônia eram capazes de resolver equações do primeiro e do segundo grau. Inclusive, há frequência de a resolução de alguns sistemas de duas equações com duas incógnitas estava ao alcance de suas mãos.
Também é merecedor de referência o progresso que realizaram os matemáticos babilônicos e mesopotâmicos com a potenciação, desenvolvimento que conduziu na resolução de equações quadráticas e inclusive a soma de progressões tanto aritméticas quanto geométricas. Este grande trabalho de avanço na Matemática e, em particular, em álgebra, foi possível devido ao elevado grau de abstração que foram capazes de desenvolver.
- CIVILIZAÇÃO CHINESA
O sistema numérico empregado pelos chineses era o decimal hieroglífico. Embora não houvesse introdução dos números negativos de forma precisa, os admitiam embora não os aceitassem como solução das equações.
Contudo sua contribuição algébrica de maior importância foi em relação aos sistemas de equações lineares. Desenvolveram um sistema de resolução de equações lineares de caráter genérico que tinha certa semelhança com que séculos más tarde desenvolveria Gauss.
Se atribui a eles, em volta do século I depois de Cristo, uma invenção em espécie de ábaco primitivo, (suan zi), que consistia em um conjunto de paus de bambú de duas cores associados a números positivos e negativos, respectivamente. Dito instrumento recberu o nome de barra de cálculo. Entre as inovações da civilização chinesa há que se destacar que o desenvolveram métodos que permitiam obter raízes racionais, além dos inteiros obtidas até então.
- CIVILIZAÇÃO HELÊNICA
Uma característica importante dos gregos é seu interesse por estabelecer todas as operações e justificar de forma rigorosa todas as leis relativas à álgebra, interesse que não havia despertado em civilizações anteriores.
Na época de Pitágoras (século VI antes de Cristo) se levou a cabo uma recuperação e uma função de muitos resultados matemáticos e a união destes deu lugar a novos sistemas teóricos. Se estudavam naquela época propriedades numéricas, divisibilidade de números, questões sobre proporções aritméticas, geométricas e harmônicas, e diferentes médias (aritmética, geométrica e harmônicas). Estudaram também as conhecidas ternas pitagóricas, falar, ternas de números que satisfazem a equação a2 + b2 = c2 e se descobriu um método para achar as ditas ternas.
Outra grande descoberta dos gregos foi a existência da irracionalidade, levando a cabo, por exemplo, mediante a redução a incrível comprovação da irracionalidade de 2. A partir deste descobrimento surgiu a necessidade de criar uma teoria mais ampla que compreendera tantos os números racionais como os irracionais. Este deu lugar a uma reestruturação da geometria que desembocou na álgebra geométrica. Assim, esta álgebra geométrica não era capaz de resolver problemas de dimensão maior que dois, o que havia impossibilidade resolver problemas que implicava na resolução de equações do terceiro grau ou mais elevado.
Destaca-se a figura do matemático grego Nicómano de Gerasa, no século II depois de Cristo, quem publicou sua Introducción a la aritmética exibindo várias regras para o bom uso dos números.
Apesar das equações do primeiro e segundo graus já ter surgido vários séculos antes, não foi até o século III depois de Cristo quando Diofanto em sua obra Aritmética estudou com profundidade e de forma mais rigorosa. Além disso, encontrou solução a mais de cinquenta classes diferentes de equações chamadas equações diofânticas. Indicou as incógnitas com um sinal que equivalente com a primeira sílaba da palavra grega arithmos, que significa número. Toda sua obra e os problemas que esboçou assentaram-se nas bases do que posteriormente seria a álgebra moderna apesar de que seu trabalho necessitava de precisão era algo rudimentar.
Portanto, se considera a época grega como um período onde se trataram as matemáticas de uma forma muito vasta e tocaram já alguns dos elementos que posteriormente, e muitos séculos depois, viram novos ramos da matemática.
- CIVILIZAÇÃO HINDU
A civilização indiana usou um sistema de numeração posicional e decimal desde o século VIII antes de Cristo, época a que pertencem os primeiros feitos dessa raça. Apesar de já então haver desenvolvido em certa medida a álgebra, é durante os séculos V-VII onde todos seus avanços e conquistas alcançaram maior apogeu.
Dentro de seus avanços se inclui a introdução do zero e as operações com números irracionais. Teve grande importância o uso correto dos números negativos já que no s´ceuclo VII os hindús havia desenvolvido as regras algébricas fundamentais para manejar números positivos e negativos. Aceitavam os números negativos como soluções de equações e as interpretavam como débito.
Neste avanço significativo que chegaram os hindús destam grandes figuras matema´ticas como Aryabhata (século VI), Brahmagupta (século VII), Mahavira (século IX) e Bhaskara Akaria (século XII). Na sequência vamos revisar a biografia de alguns destes personagens devido a transcendência que tiveram.
- A CIVILIZAÇÃO MULÇUMANA
O maior representante da cultura muçulmana foi o matemático e astrônomo Al-Khowarizmi que pertenceu a uma das mais importantes escolas que já se expandiram por todo o império. Uma de suas obras mais conhecidas está baseada em Brahmagupta, livro cuja versão está em árabe. Um detalhe curioso referente a este livro foi que nele contém uma cópia do fiel sistema de numeração hindu, que levou um grande erro e hoje em dia muitos creem que nosso sistema de numeração provém do árabe devido essa tradução que levou a cabo Al-Khowarizmi. Sua obra mais importante chama pelo nome de Hisab al-jabr waal-muqabala, nome do posteriormente havia derivado o término da álgebra.
Na obra de Al-Khowarizmi foi seguida no século X pelo também muçulmano Abu-Kamil, cujos avanços da álgebra seriam aproveitados no século XIII pelo matemático italiano Fibonacci.
Outro matemático muçulmano que tem conta foi Casi, cujo mérito se deu por haver encontrado as primeiras 17 dígitos do número pi no séuclo XV. Grandes matemáticos procuraram tal proeza mas fracassaram a tentativa (viète somente foi capaz de encontrar as nove primeiros dígitos em 1593). Somente ao final do século XVI se repete a conquista de Casi.
Os trabalhos dos matemáticos desde o século IX até o século XV incluem equações do primeiro e segundo graus. Além disso, alguns problemas de caráter geométrico como a divisão da esfera por um plano de três dimensões de um ângulo levaram a esboçar equações cúbicas.
- A ÁLGEBRA NO CONTINENTE EUROPEU
Idade Média
Na Europa a história é bastante diferente da que teve no Oriente. Foi na Idade Média quando iniciaram o surgimento de centros de ensino como o que organizou Gerberto no século X em Reims (França). Els começaram a difundir todos os conhecimentos indo-arábicos graças ao que os mulçumanos interpretação de toda a obra até a época, rompendo assim a barreira linguística. Um dos muçulmanos a destacar foi Gerardo Cremona (século XII).
Na Europa a história é bastante diferente da que teve no Oriente. Foi na Idade Média quando iniciaram o surgimento de centros de ensino como o que organizou Gerberto no século X em Reims (França). Els começaram a difundir todos os conhecimentos indo-arábicos graças ao que os mulçumanos interpretação de toda a obra até a época, rompendo assim a barreira linguística. Um dos muçulmanos a destacar foi Gerardo Cremona (século XII).
Outra grande figura digna de mencionar é Leonardo de Pisa que havia passado na história como Fibonacci. Sua importância se deve a que aprendeu o sistema de numeração indo-arábico após viagens realizadas ao norte da África a ao Oriente. Sua obra mais conhecida recebe o nome de Liber Abaci que significa Tratado do ábaco e escreveu por volta de 1212. É uma obra muito completa onde congrega, entre outras operações com frações, a regra de três simples e composta, a divisão proporcional e a sucessão pela qual este personagem havia passado na história que leva seu nome, a sucessão de Fibonacci.
Século XVI
No século XIV se produziu um avanço relativo nas potências já que se começou a calcular potências de expoentes fracionários e se estabeleceram de forma rigorosa as regras para operar com elas. A figura encarregada disso foi Nicole Orestes.
Esses avanços, e a progressiva expansão da álgebra do Oriente à Europa, foram os feitos mais notáveis de caráter matemático que tiveram lugar durante a Idade Média.
Porém, apesar deste pequeno alertamento, ressurge a álgebra de forma enorme no século XVI. Na época do renascimento que na matemática se espelha na escola italiana, onde a Matemática e, no concreto, a álgebra, recebe grande impulso. Neste século destaca o interesse pela busca de uma solução para as equações de terceiro e quarto grau.
Há vários nomes de italianos conhecidos que havia configurado a história dessa busca. Poucas vezes, quando ensinaram nas escolas conhecimentos de áreas distintas, teve em conta a dificuldade e os problemas para chegar a conformidade com algo, assim como a parte humana dessa ocupação. Na história das equações do terceiro grau e quarto grau havia contribuído três personagens e uma série de eventos interessantes e não estão exatamente claro como foi o transcurso deste descobrimento quem em algumas ocasiões esteve confuso. Há duas versões que circulam e vou comentar as duas para que os leitores decidam qual lhes parece mais real. Os personagens que intervieram nesta curiosa história foram Scipion del Ferro, Fiore, Tartaglia e Cardano.
Século XVIII
Uma série de matemáticos se dedicaram na solução numérica de equações. Entre eles figuram Halley, Lagrange, Fourier e Maclaurin.
Mas uma das grandes figuras que se destacou no século XVIII foi Leonhard Euler.
Mas uma das grandes figuras que se destacou no século XVIII foi Leonhard Euler.
Sua obra mais conhecida foi Aritmética universal, publicada em 1768, onde dirigiram numerosos resultados como um sistema simbólico-literal da álgebra, esclarecimento sobre operações com números, monômios, radicais e complexos, regras de extração das raízes dos números, introdução dos números de polígonos, frações deciamsi periódicas e o estudo da resolução de frações algébricas.
Também fez grandes avanços numéricos, pois estudou com minucioso detalhes os números irracionais, imaginários e complexos.
Graças a Euler existe a atual teoria de congruências como resultado de árduos e extensos trabalhos que requereu grandes esforços e dedicações.
No século XVIII, a teoria dos números adquire uma grande importância e se separa do reto da Matemática como um ramo independente. Neste progresso colaboraram Lagrange, Lambert e Euler, entre outros. Fundamentou a teoria das frações contínuas, o que desembocou em seus estudos sobre análises diofântico e estudou os números primos tratando de resolver sua distribuição.
Século XIX
O século XIX tem uma grande importância na evolução da álgebra. A partir daqui a álgebra evoluiu de forma diferente e aparece uma álgebra de caráter mais abstrato donde surge, além de objetos desconhecidos até então, mas desperta o interesse dos matemáticos do momento como são as equipes, as matrizes ou hipercomplexos. Além de, o interesse em torno a qual giravam a matemática também é diferente. Enquanto que na álgebra anterior o principal era o estudo de estruturas algébricas. Tudo isso deu lugar ao que hoje em dia se conhece como álgebra moderna. Devido a produtividade dessa época, pelos trabalhos e resultados que obtiveram, é conhecido o século XIX como a idade de ouro da Matemática.
Um problema importante que determinado neste século é a possibilidade ou não da resolução de equações por radicais. Como se havia refletido antes, já era conhecido o método de resolução de equações cúbicas devido os trabalhos de Scipion del Ferro, Tartaglia, Cardano e Ferrari e da equações quadráticas de Ferrari. A partir daqui, grande quantidade de matemáticos se lançaram na busca de resolução por radicais de equações de quinto grau ou maior, mas o caminho não foi fácil.
Algumas personalidades ilustres já acreditavam que tal busca tinha solução e admitiram a impossibilidade de solução de equações de quinto grau como Leibnitz (no século XVIII) e Gauss em sua Dissertação de Doutorado, inclusive não foram capazes de demonstrá-lo. Foi Ruffini quem encontrou uma demonstração, inclusive não o suficiente detalhada e rigorosa mas se assemelhava bastante aquela que posteriormente estabeleceria Abel no ano de 1826. Mas Abel não pode dar um critério geral de resolução em radicais das equações com coeficientes numéricos.
Metade do Século XIX
Na segunda metade do século XIX as investigações se centram em três campos distintos:
- Teoria dos grupos
- Teoria dos grupos
Na segunda metade do século XIX quando se desenvolveu a teoria dos grupos em profundidade. Destaca a obra de Cayley onde deu forma uma definição bastante abstrata de grupo. A partir de 1870, a obra de Jordan adquire também uma relevância especialpois nela aparece o primeiro estudo de grupos infinitos depois de haver realizado um resumo da teoria dos grupos finitos e suas aplicações. Os grupos infinitos foram estudados pelos discípulos de Jordan, F. Klein e S. Lie.
Ao final do século XIX e início do séculos XX se forma o núcleo da álgebra atual a partir da teoria dos grupos que se desenvolveu estudando os grupos finitos, os grupos discretos infinitos e os grupos contínuos de uma forma independente pois a teoria dos grupos começava a se expandir.
Desta forma e, como se comentou anteriormente o centro das investigações algébricas para a ser a teoria dos grupos, anéis e estruturas, o que constitui o período da Matemática Moderna.
- Teoria dos números e dos conjuntos
Outro campo no qual distintos matema´ticos se aprofundaram durante o século XIX foi a teoria dos números. Devido a importância de uma fundamentação correta da teoria do número real, matemáticos como Dedekind, Weierstrass e Heine dedicaram seus esforços a justificar de forma rigorosa a dita teoria.
Também a teoria de conjuntos sofre um impulso devido os trabalhos de G. Cantor, que identificou o número real com uma sucessão convergente de números reais. A
A ele pertencem as teorias de conjuntos finitos e os números transfinitos.
Entre 1879 e 1884 elaborou de forma sistemática a teoria de conjuntos, introduzindo o conceito de potência de um conjunto, o conceito de limite e derivada, no qual constituiu o núcleo da teoria abstrata de conjuntos.
A fundamentação da teoria de conjuntos e suas aplicações deram lugar no século XX a lógica matemática que parte fundamental da matemática moderna.
- Álgebra linear
Esta teoria surge dos sistemas de equações lineares e está diretamente relacionada com a teoria dos determinantes e matrizes. Realizaram grande quantidade de investigações em torno da noção de invariável das equações que teve uma especial acolhida em distintos campos como a Análise, a Geometria,a Mecânica e a Física.
Ao final do éculo XIX se produziu a unificação das três tendências a mãos de Dedekind e Hilbert, fundamentalmente. A partir daqui, e durante o século XX, se procedeu a axiomatização da álgebra onde destacaram Steinitz, Hasse, Krull e Van del Waerden, entre outros. Tudo isto serviu de base para as numerosas investigações levadas a cabo durante o século XX que formaram parte da álgebra abstrata.
Bibliografia:
Lumbreras Editores. Álgebra: Tomo II. Primera edición. Lima- Perú. Lumbreras Editores, 2011.
legal
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